Kropki 數獨：用黑白圓點解題的方法
Kropki 數獨是在相鄰格子交界處加上小圓點的普通數獨。白點表示兩個數字剛好相差一；黑點表示其中一個數字剛好是另一個的兩倍。
圓點位在兩格之間，而不在格子裡，這正是這個變體玩起來不同的原因。你熟悉的其他線索都在格子裡，告訴你那一格的資訊；圓點告訴你的是兩格的關係，在知道其中一端以前，它什麼也不會直接告訴你。
開始前先確認一件會改變解題方式的事：題目是否會標出每一個適用的圓點。有些題目會，這時沒有圓點的交界本身也是線索。大多數不會，這時沒有圓點只表示題目沒提供資訊。下方一節講的是前一種，本頁的盤面也是。
不變的規則
每一行、每一列和每個 3x3 宮依然各自恰好有一次 1 到 9，題目也仍只有一個不靠猜測就能找到的解。規則和逐步教學說明基本玩法；以下推理所用的是Naked Single（裸單）與 Hidden Single（隱性單數）技巧。
黑點比白點提供更多資訊
先數一數每種圓點留下多少可能性。
白點有八種可能的配對：1 和 2、2 和 3，一直到 8 和 9。知道其中一端後，另一端仍可能是兩個數字之一；只有碰到兩端的 1 或 9 時，才會直接告訴你答案。
黑點只有四種：1 和 2、2 和 4、3 和 6、4 和 8，沒有其他可能，因為 5 以上的數字加倍後就超出盤面了。因此黑點的限制強得多：九個數字中有三個——5、7、9——根本不能挨著黑點。看到黑點時，先從那裡看起。
這種不對稱是解 Kropki 題目時最有用的一件事。白點很多但弱；黑點少但強。
沒有畫出的圓點
這是在所有適用圓點都標出的題目裡，人們最容易漏掉、也是大多數推理真正發生的地方。
完整標記表示出題者畫出了每一個適用的圓點。在這種盤面上，兩個相鄰格子之間若沒有圓點，也是一項陳述：它們的數字不是連續數，也不是二比一的關係。空白交界和有標記的交界一樣都是線索，而且空白交界遠比有標記的多。
這是慣例，不是 Kropki 定義的一部分；採用它的題目會明確說明。規則沒說，就當作它不適用。這時你能依靠的只有看得到的圓點。下方盤面完整標記，所以下面的推理才成立。
看標出的 r2c4。普通數獨只能把它縮小到 1 或 8，然後就停住了。
直接看它上方。r1c4 是 9，兩格之間沒有圓點。若 r2c4 是 8，8 和 9 就是連續數，交界處必須有白點；但它沒有。因此 8 不可能，r2c4 是 1。
盤面上沒有新增任何東西。這個推理完全建立在一個從未畫出的圓點上。
填入 1 後，下方的黑點會完成剩下的工作：與 1 隔著黑點配對的唯一數字是 2，因為 1 除以二已經不在盤面範圍內。r3c4 是 2。
為何圓點完成大部分推理
在本頁完整標記的這盤題目中，只使用行、列和宮的普通數獨技巧——裸單和隱性單數——能推得四格。把正面的圓點規則和沒有圓點的負面規則都加進來，同一套技巧就能推得二十五格。
這個差距就是 Kropki 題目的本質。盤面刻意留下較少的給定數，因為圓點承擔了題目的線索。
親自試試
在 Sudoku Fog 裡，Kropki 是需要解鎖、而不是一開始就有的變體之一。變體點數來自困難或以上難度的勝利，以及每日挑戰；兩者每天各限一次，連勝里程碑還會給予額外點數。
四種常見錯法
還不知道任一端時就讀圓點。圓點限制的是一對格子。兩格之一尚未有數字前，它不會縮小任何可能性；花時間盯著它只是在浪費時間。從已有數字的格子往外推。
忘了 1 和 2 符合兩種圓點規則。它們相差一，而且其中一個是另一個的兩倍，因此這一對可以合理地出現在任一種顏色的圓點下。這是黑點唯一不會排除原本預期配對的情況。
忽略完整標記題目裡的空白交界。它們的數量是圓點的好幾倍，而且是真正的限制。這類題目感覺卡住時，看看正在處理的格子周圍有哪些地方沒有標記。
以為負面規則永遠適用。它只在題目標出每一個適用圓點時才成立，而且題目必須明確說明。把它套到只標部分圓點的題目上，會得到看似算錯數字的矛盾。Sudoku Fog 的 Kropki 盤面屬於後者：它只標出部分配對，所以 app 裡沒有圓點的交界不表示任何事；每一步推理都得從看得到的圓點開始。
接下來
溫度計是另一種線索描述格子關係、而不是單一格子的變體；它獎勵的是相反的直覺：資訊就在兩端。國王步、反騎士和 X 數獨介紹三種加入排除格子、而非關係的變體。
如果想試試解題時大部分盤面都被遮住的版本，迷霧數獨就是它。目前已發布的內容都在Learn 索引。
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